Drehen und Spiegeln - Der Spin

Dass man Teilchen mit dem Spin ½ zweimal um 360o drehen muss, um den gleichen Zustand zu erhalten, ist kaum anschaulich erklärbar. Allerdings stößt man auf ähnliche Phänomene, wenn man bei einem Schiebe-Puzzle das leere Feld im Kreis verschiebt.

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  

Dabei erhält man Permutationen der beteiligten Felder. Eine relativ gute Analogie zum Spin ergibt sich, wenn statt Permutationen Spiegelungen betrachtet werden. Wir denken uns die Symbole 1, 2, 3 und 4 in einem Quadrat angeordnet und lassen durch Spiegelungen das Symbol 1 alle Eckpunkte des Quadrats im Uhrzeigersinn durchwandern. Offensichtlich benötigen wir nur einen vollen Umlauf des Symbols 1 um den Ausgangszustand wieder herzustellen:  

1 4   →   4 1   →   3 2   →   2 3   →   1 4
2 3   →   3 2   →   4 1   →   1 4   →   2 3

Wir denken uns die Symbole 1, 2 und 3 in einem Dreieck angeordnet und lassen durch Spiegelungen das Symbol 1 alle Eckpunkte des Dreiecks im Uhrzeigersinn durchwandern. Nach einem vollen Umlauf des Symbols 1 liegt noch nicht der Anfangszustand vor, da die Symbole 2 und 3 vertauscht sind:  

  1     →     3     →     3     →     1  
2   3   →   2   1   →   1   2   →   3   2

Für eine Herstellung des Anfangszustandes muss das Symbol 1 nochmals alle drei Eckpunkte durchwandern: 

  1     →     2     →     2     →     1  
3   2   →   3   1   →   1   3   →   2   3

In dieser Analogie lässt sich der fundamentale Unterschied zwischen Spin 1 und Spin ½ durch eine gerade Anzahl oder ungeraden Anzahl (größer als eins) an Symbolen erklären.

Johannes Barton, Wien 2023